《历史与结构观点下的群论》：群的来历与本质

■李欣

群论是抽象代数学一个最主要的分支，这门理论一经诞生便焕发出迷人的色彩，很多经典数学难题（比如高次方程根式可解问题）迎刃而解。随着这门理论的进一步发展，群论在数学中的地位与日俱增，以至于20 世纪最伟大的数学家外尔赞言：群论已经扩展到整个数学中，没有群就不可能理解现代数学。然而在不少人心中，群论是一门非常难懂的学问。数学系的学生也普遍认为群论比较难学。“概念抽象，难以理解”阻挡了相当一部分公众亲近和喜欢这门理论的热情。最近邓明立教授与王涛博士撰写的《历史与结构观点下的群论》对这个问题做了一些初步的探讨。这本书既可供数学专业的高年级本科生、研究生和教师学习或教学参考，也适合群论与数学文化爱好者阅读。

该书共分为4章，外加3个附录。其中第1章论述集合、关系与结构的概念；第2章讲解循环群、交换群、置换群、正规子群、商群、同态定理等内容；第3章讲解群作用、西罗定理与群表示等内容；第4章是作者对群论的一些总结。3个附录分别是小阶群的结构、有限单群分类表与数学家阿贝尔和伽罗瓦的传记。

虽然前三章以及附录1和附录2内容从目录编排上来看与抽象代数的教材差别不大，但作者讲述这些内容的方式完全不同。正如书名所体现的，本书的一大特色是从历史的观点出发。群的概念与理论虽然抽象，但却是从具体的数学问题中来的。

从历史的观点来讲述数学，势必要对数学及其历史有深入的研究。邓明立的主要研究方向正是代数学与近现代数学史。他在这个领域深耕二十多年，几乎对群论每一个专题的历史都进行了深入研究。在第4章的总结中，作者就群与对称、群论的历史渊源与理论框架、群论在中国的发展等几个专题给出了精彩纷呈的论述。可以说，本书是作者及其团队多年来在近现代数学史领域研究成果的一次直接体现和应用。

作者让历史与逻辑的顺序很好地结合在一起，成为本书最大的亮点之一。比如在2.3 节“循环群”中，作者首先回顾了初等数论中指数与原根的概念，进而指出将这些概念翻译到循环群中，就是元素的阶与生成元的概念。循环群的所有概念与理论，几乎都可以从初等数论中找到相应的例子。

本书的另一大特色是从结构的观点出发来整理群论。结构的思想由法国数学家集体布尔巴基提出，他们给出了三种基本的数学结构：代数结构、拓扑结构与序结构，群就是一种标准的代数结构。作者在第2.1节给出群的定义之前，首先回顾了向量空间的概念。因为从结构的观点来看，向量空间具有群的结构，因此所有的向量空间首先都是群，这样读者在心中就有了第一批群的例子。此外，通过对群结构加一些附加条件，就得到了其他群结构。比如对集合的基数设为有限，则得到了有限群结构，本书主要讨论的就是有限群。再比如，对群的元素加上运算可交换的条件，就得到了交换群。因此，从结构数学的观点来看，群论的主要内容可以分为以下各个方面：附加结构（有限群、交换群）、子结构（子群）、商结构（商群）、原始结构（单群）等。

本书的第三个特色侧重于数学思想的讲解。比如作者反复强调的一个思想是用概念来代替计算，并指出这是数学步入近代的一个重要标志。通过给出群的概念，数学家不再盲目去计算代数方程的根式解。再比如，作者强调了通过代数方程引入的置换群才是最重要的群。群论中最重要的一些结果，比如拉格朗日定理、柯西定理、西罗定理等都是在置换群的背景下得到的。

最后值得一提的是作者对数学文化的传播。本书在写作上语言优美，文笔流畅，用较为通俗的方式讨论了很多令人激动的数学。在每一节结束之后，作者都附加了相应的美文介绍数学家或数学思想。此外，作者在附录3中精心撰写了阿贝尔与伽罗瓦的传记。实际上，正是这些伟大数学家的生平和互相影响使得群论栩栩如生，引人入胜。

《历史与结构观点下的群论》，邓明立、王涛著，科学出版社2017年5月出版