发展精度可控的数值计算共性高效算法是充分发挥高性能计算机巨大能力、满足大规模计算实际问题模拟精度和置信度要求的重要研究前沿。而在电子结构计算中，计算结果误差的可靠估计方法研究是其核心科学问题之一。

近日，在我国首个以数学学科为主导的国家自然科学基金重大研究计划“高性能科学计算的基础算法与可计算建模”支持下，我国科学家证明了他们所设计的基于后验误差估计的“自适应有限元离散算法”具有最优收敛率与最优复杂度，完成了国际首个重特征值问题自适应有限元收敛率与复杂度分析工作。

基于密度泛函理论的第一原理电子结构计算是探索与模拟物质微观系统的物理规律的基本手段，在微观世界的物理过程的研究与理解和先进材料的结构性质的预测上发挥了重要作用。在第一原理电子结构计算中，自适应有限元算法设计及其收敛性和复杂性分析是当今计算数学国际前沿课题。

自上世纪七十年代以来，微分方程源问题相关研究已取得非常深入系统的成果。但相比之下，特征值问题的自适应有限元算法工作不多。“重特征值问题的自适应有限元算法设计与分析有本质困难，研究成果只有很少几项。”中科院数学与系统科学研究院研究员周爱辉告诉《中国科学报》。

针对此难题，周爱辉课题组经过长时间研究，终于在重特征值问题的自适应有限元算法设计与分析方面取得突破。具体而言，他们针对一类二阶椭圆算子重特征值问题，引入特征空间的距离来度量解的误差，从而构造了有限元离散的后验误差估计子。进一步，他们引进不可计算误差估计子，并且证明了该不可计算误差估计子与所构造的后验误差估计子是等价的。

利用这一等价关系，他们得到了后验误差估计子的上下界估计，给出了空间误差的渐进压缩性，进而证明了所设计的自适应有限元离散算法具有最优收敛率与最优复杂度。随后，他们团队对Kohn-Sham 方程的有限元离散进行了后验误差分析，进而建立了相应的自适应有限元离散算法与理论。

周爱辉团队碳60体系电子结构自适应有限元计算结果，从左至右分别为体系构型、密度图及网格截面图。（研究团队供图）

该项成果在国内外科学家多项后继工作中得到引用，被称“引进‘创新性方法论’、提供‘关键步骤’、做出了‘决定性贡献’”。该工作为设计与理解电子结构计算高效离散算法提供了基础，为我国开展二维材料和钚表面氧化问题等国家重大需求奠定了坚实基础。