《无法解出的方程》是一本非常有趣的数学科普书，它可以分成相互关联的两个部分，这两个部分反映在它的副标题之上：天才与对称，也就是主要部分讲的数学——对段性的数学即群论，而更有趣的部分则是两位天才数学家——阿贝尔及伽罗瓦的坎坷人生以及关于天才成长的评述。

 

只要是学过点中学数学，都知道方程是什么，数学家的工作一般不太为人理解，但吴文俊院士却给了一个精辟的概括：解方程和证定理。由于欧几里得的传统，西方数学主要以证定理为主，这一直延续至今。然而解方程在古今中外一直占据着一个重要的地位，尤其是当前的计算机时代，解方程已经变成必不可少的事情。也许一般人并没有感受到这点，但每天的天气预报就是要靠解方程，只不过方程远远比我们这里讲的复杂得多。

 

这里讲的方程是最简单的也是在历史上长年折磨许多大数学家的一类——代数方程。在中学，大家已经学会了解一次方程（以及简单的一次方程组）和二次方程。其实这对于大多数人已经足够。即便到今天，许多数学专业的老师和学生并不会解三次方程和四次方程，虽然早在牛顿之前一个多世纪，也就是16世纪上半叶，人们已经会求三次方程和四次方程的解了。既然高次方程用处不大，一般人也就不太关心这件事了。数学家与一般人不同之处就在于在这些没用的事上较真，求解五次及五次以上方程成为当时数学家钻研的一个中心课题，并且吸引了不少年轻人参加，阿贝尔和伽罗瓦就是其中的两位。“初生牛犊不怕虎”，数学归根结底是年轻人的科学嘛！

 

不过我要提醒的是，数学是一门非常确定的科学。这里所说的解不出，不是指方程无解，而是指这个解不能通过代数运算（也就是加、减、乘、除）和开方得到，或者说没有根式解。在这里，我们还要看到数学家的思想方法和批判精神。碰到这样一个问题，当然先算来算去看看能不能把五次方程的根解出来，阿贝尔、伽罗瓦以及一些同龄的青年才俊，如后来成为大数学家的雅可比都曾经这么干过。阿贝尔还一度认为自己已经成功，不过，后来他们都认识到其中出现了错误。他们不像现在有些人，靠忽悠和骗人吃饭，而是开始认真考虑另觅他途，总之，他们是为了追求真理，而不是维持……

 

思想方法的转变往往是革命性的：这既不是随着传统说对，也不是随大流说不。眼前无路想回头，阿贝尔开始想，有没有可能一般五次方程没有根式解？虽然转到正确的方向，但数学需要证明，正像法律需要证据、自然科学需要观察实验的检验一样。阿贝尔做到了这点，伽罗瓦则更进一步，创立了群论以及现在通称的伽罗瓦理论（详细内容请参看拙著《近代数学史》以及《数学是什么》）。虽然，伽罗瓦在20岁已经创造了这些理论，但是，学数学的30岁的学生也不一定能很好地理解，也许这就是天才吧！

 

阿贝尔和伽罗瓦有一个共同点：他们都是英年早逝，伽罗瓦不到21周岁去世，阿贝尔不到27周岁去世，他们的死亡原因不太一样：阿贝尔是因为贫病交迫，伽罗瓦是年轻气盛，为毫无价值的人和事白白送命。但他们都是数学家队伍中的领军人物。埃尔米特曾说，阿贝尔的工作够我们享用150年。现在150年早已过去，我们仍在享用他的成果，尤其是椭圆函数论。椭圆函数论至今仍是一大热闹，从证明费马大定理到设计难于破解的密码，靠的都是它。说到密码，我愿意再啰嗦一句，天才的头脑真不知怎么长的（书中对此有所介绍），伽罗瓦创造的伽罗华理论已经够超前的，他还创立了一个更超前的理论——有限域的理论。有限域论除了密码之外，它还有几十种应用。阿贝尔生前没当上教授，死后却设立了以他名字命名的数学奖——阿贝尔奖，它可以说是当今的数学诺贝尔奖。2003年到2008年，已有8位当前顶级的数学家获此殊荣。许多数学家曾对菲尔茨奖（过去也号称数学诺贝尔奖）不满，据说陈省身先生就对20世纪90年代的菲尔茨奖不以为然，然而谁能对阿贝尔奖的得主表示异议呢？第一位获奖者塞尔同时也是最年轻的菲尔茨奖的获奖者，获奖时，还不满28周岁。他真的很幸运，能够健康地活到现在，做出大量工作也获得大量荣誉并享受丰富的精神生活。

 

也不是所有伟大的数学天才都能像塞尔那样活到高龄。除了阿贝尔、伽罗瓦以外，至少还有8位大数学家没有活到30岁。可惜天不假年，再给他们十年、二十年，他们会对数学与社会作出更辉煌的贡献。刚开完奥运会，免不了同体育有某种联想：数学不是体育，数学家的涌现与体育明星的成功多少有些共同之处：天才或天赋、个人的努力、宽松而有益的环境以及表现的机会。幸好，有了这些，这些天才没白活，有的也成了名冠理论的大家，如拉姆齐（1903~1930）和泰希谬勒（1913~1943）。然而，连这么好的数学科普书都找不到什么读者的时代，要想涌现大数学家岂非缘木求鱼！

 

《科学时报》 (2008-9-11 科学 文化)