近日，成都理工大学地质灾害防治与地质环境保护国家重点实验室和数理学院王宇杰教授团队与上海交通大学物理与天文学院以及华东师范大学物理与电子科学学院合作者合作，揭示了土力学中临界状态(critical state)的物理起源。该工作以“Origin of the critical state in sheared granular materials”为题近期发表在《自然物理》（Nature Physics）。该项成果标志着成都理工大学在颗粒物理以及土力学基础研究方向取得的重要突破。

颗粒物质一般指具有宏观大小的粒子汇集而成的离散体系，包括自然界中的沙石、土壤、浮冰、积雪，日常生活中的粮食、糖、盐，工业生产中的煤炭、矿石、建材，以及不少药品、化工品都属于颗粒物质的范畴。当没有外力作用时，颗粒物质会像固体一样保持静止，而在外部扰动下，它们又能够像液体一样发生流动。在流动的稳定状态下，体系的宏观体积和剪切力将保持不变，人们将颗粒物质的这种特殊状态称为“临界状态”（critical state）。临界状态是土力学领域中的基本概念，是剑桥模型等常用经验本构关系的基础。然而，对临界状态的物理本质目前人们并没有充分的认识，导致现有的土力学研究缺少微观机制和基础，在应用上受到了限制。

在物理学家看来，颗粒物质属于无序/非晶体系大家族的范畴，特点是不具备晶体的周期性结构。而临界状态则类似于剪切下无序体系的稳定流动状态。将无序体系研究中获得的知识沿用到颗粒物质中来是理解临界状态的产生机制的最有效途径之一。然而，颗粒系统本质上是非热平衡的，其宏观行为难以被传统的统计力学框架描述。此外，颗粒系统还具有因接触摩擦引起的额外接触层面物理现象，这在其他无序体系中是不存在的。因此，颗粒系统与热无序体系之间的联系至今没有定论。

要彻底理解临界状态的微观本质和建立宏微观联系，首先需要建立一个颗粒物质满足的统计力学框架。上世纪90年代，剑桥大学S. F. Edwards教授及合作者提出了颗粒物质的统计力学系综框架，成为了相关领域长期以来的研究热点。简单来说，该框架将颗粒体系堆积所占的空间体积类比为平衡态中的能量（也被称作体积系综），进而推导出颗粒系统的温度、熵等一系列统计力学指标。王宇杰研究团队和合作者在前期研究中开展了Edwards统计力学框架的验证工作，他们实验证实了Edwards体积系综框架适用于颗粒物质，给出了颗粒温度、熵等计算结果，并验证了颗粒温度满足热力学第零定律。他们还澄清了摩擦通过改变力学稳定堆积的态密度进而影响颗粒物质统计力学的机制(Phys. Rev. Lett., 127 018002(2021))。同时他们还发现基于涨落耗散关系定义的有效温度与Edwards颗粒物质温度的一致性，证明了颗粒物质中存在一个普适的非平衡态统计物理框架和有效温度(Phys. Rev. Lett. 129 228004 (2022))。

基于这一颗粒体系满足的统计力学框架，王宇杰研究团队与合作者在最新发表的Nature Physics论文中揭示了土力学中一个关键概念即颗粒物质临界状态（critical state）的物理起源。研究团队采用三种不同摩擦系数的颗粒开展了简单剪切实验。在足够大的应变下，这些体系都进入到了临界状态。他们研究发现，剪切下的临界状态堆积与对应的颗粒随机松堆（random loose packing，RLP）具有几乎相同的统计力学性质（平均体积分数和微观体积分布）。在Edwards理论框架中，RLP对应于具有最大熵的特殊状态，在该状态下所有的微观状态都是等概率的。而要理解颗粒体系微观态的来源，需要从更广泛的无序体系堆积结构入手。鉴于颗粒堆积结构非常类似于一般的硬球过冷液体，他们指出颗粒物质的堆积构型或微观态与硬球过冷液体结构存在对应关系。然而，颗粒物质与硬球过冷液体存在本质区别，颗粒体系在没有外界的扰动下都是静态的，对应的构型必须是力学稳定的，而哪些微观态可以满足力学稳定要求直接受颗粒间摩擦的大小决定。Edwards体积系综框架已经包含了力学稳定性假设，进一步考虑硬球过冷液体中不存在的颗粒间摩擦相互作用变得至关重要。在本工作中，他们发现摩擦的大小会改变颗粒体系Edwards系综的态密度与熵（图1a）。具体表现摩擦会对态密度起到放大作用，使得同样体积分数下，大摩擦体系的微观状态更多。由于在临界状态时，所有微观态是等概率遍历的，对所有的微观态进行等权平均会得到临界状态的体积分数。不同摩擦体系态密度的差异正是导致对应临界状态体积分数不同的直接原因。同时，这也解释了为什么摩擦可以有效拓宽体积分数的范围，高摩擦体系可以具有更低的体积分数。该研究表明，在颗粒物质中无序结构和摩擦共同决定了微观态，在统计力学中都扮演了不可忽视的重要角色。过去人们忽略摩擦，将颗粒物质与无序体系完全等同，或者单纯认为摩擦接触构型完全决定态密度，不考虑无序结构构型熵（complexity）的做法都是不完整的。

图1  (a)三种不同摩擦的颗粒堆积中Edwards熵S与体积分数φ间的关系。插图：经过变量变换后，不同摩擦体系的Edwards熵与体积分数表现出统一的函数关系。(b-d)不同摩擦颗粒系统的能量景观示意图：(b)无摩擦颗粒堆积中只有能量景观低处的态能够维持力学稳定；(c)有限摩擦的颗粒体系，颗粒的表面粗糙形貌会在接触尺度上对能量景观进行修饰，使得更高位置的态能够力学稳定住；(d)当摩擦趋于无穷时，所有的阻塞堆积都满足力学稳定要求。

同时，他们研究发现尽管不同摩擦体系存在定量上的差异，在引入适当的状态变量变换后，它们的状态方程会表现出相同的形式。例如，通过变量变换把摩擦的影响剔除后，他们发现颗粒堆积的Edwards温度、熵、接触数等状态参量是体积分数的唯一函数，与摩擦系数的大小无关（图1a插图）。这表明，不同摩擦的球形颗粒堆积系统理论上可以使用统一的框架进行处理。这个结果隐含了虽然颗粒体系的微观态由无序结构和摩擦共同决定，但它们之间仅仅是弱耦合关系。这本质上是由于两者具有明显的尺度分离（无序结构对应颗粒尺度，而摩擦接触对应表面尺度）。

图2  硬球体系的能量景观示意图。高温液体会在温度作用下进行热运动，在不同的构型间弛豫。快速压缩下，硬球液体构型中的近邻粒子会相互接触，从而处于每个构型盆地的底部，形成阻塞堆积。

进一步深究，通过该现象还可以近似得到的另一个推论是颗粒体系关键物理过程主要由无序构型或者能量景观的整体形貌决定的，而摩擦在其中仅起到放大作用。在硬球过冷液体等无序体系研究中，其微观态一般用能量景观或者自由能景观来表征（图2）。在能量景观图像中，当温度降低时，硬球液体将进入玻璃能量景观，景观中的盆地对应于不同的硬球构型，但这些构型还不是力学稳定的。如果快速压缩硬球体系，它们将会被限制在盆地的底部并形成力学稳定的堆积结构。基于上述图像，该研究发现颗粒体系的临界状态可以被看作为处在能量景观刚形成时（体系刚出现固体刚性），具有Ton温度的硬球液体，此时所有的构型（盆地）都可以被遍历（图3）。而处于随机密堆状态（random close packing, RCP）的颗粒体系位于能量景观的深处，对应于在玻璃转变温度Tc或动力学转变温度Td的硬球过冷液体，这时只有能量景观中比较低的构型可以被遍历。对于不同的摩擦体系，由于所有的颗粒堆积构型都来源自于同样的高温硬球液体，不同摩擦的体系在粒子尺度上的构型相同，表现出普适的硬球行为。这也同时解释了归一化后的颗粒体系的Edwards熵与硬球过冷液体构型熵具有类似的随体积分数演化行为的现象。然而，区别于硬球液体，颗粒体系需要满足力学稳定的要求，并受到摩擦的调控。摩擦本质上可以被看作为对能量景观的修饰，光滑颗粒体系对应的能量景观依然光滑，而粗糙颗粒体系的能量景观将出现许多“锯齿”。对于无摩擦颗粒体系而言，只有能量景观底部的构型满足力学稳定条件；高摩擦颗粒的表面粗糙使许多稀疏的堆积构型也能够满足力学稳定，从而可以出现对应能量景观高处的构型；当摩擦趋近于无穷大时，能量景观中的所有态都符合力学稳定的要求。

图3  (a)硬球液体的能量景观示意图：能量景观刚出现时，处于温度Ton的硬球液体能够遍历整个能量景观；玻璃化转变温度Tc或动力学转变温度Td的硬球液体位于能量景观的深处，无法遍历整个景观。(b)颗粒堆积的能量景观示意图：在RLP态，颗粒堆积的所有力学稳定态出现的概率相等；在RCP态，体系处于能量景观深处。(c, d)硬球液体构型熵3-5(c)以及颗粒堆积Edwards熵(d)与体积分数间的关系。

基于这种类比，研究团队解释了颗粒体系的剪切膨胀现象与临界状态出现的微观机制：对颗粒体系施加剪切等效于对过冷硬球液体进行加热，即对应于把玻璃化动力学转变温度Tc附近的过冷硬球液体升温，此时体系只能在能量景观中比较低的构型中进行弛豫，体积分数较大；而剪切使体系升温达到玻璃化动力学刚开始出现的温度Ton，此时能量景观中所有的构型态都能够被遍历，导致体积分数变小。这个升温过程带来了体积的增加，因此颗粒体系中会出现剪切膨胀现象，而最终的稳态或者临界状态其实本质上就是能量景观起始温度Ton或者体系固体刚性刚好消失的硬球液体所对应的堆积状态。如图4所示，研究发现即便对于同样的升温过程（Tc到Ton），由于摩擦会影响态密度，大摩擦体系的体积分数的范围会更大，剪切下的体积变化更加显著。这解释了相比于无摩擦硬球，颗粒堆积的剪切膨胀效应更加明显的现象。摩擦主要起到的是大“热”膨胀系数效应。

图4 硬球液体与有摩擦颗粒堆积的对应关系。颗粒的堆积态可以映射到硬球液体，颗粒体系的剪切膨胀现象对应于硬球液体的升温过程。摩擦会影响态密度，从而决定剪切膨胀过程所带来的体积变化大小。

王宇杰研究团队及其合作者所看到的实验现象以及他们做出的物理解释，为构建颗粒物质和硬球液体之间的联系提供了一种新的理解，提供了将无序体系基础物理研究沿用到颗粒物质研究中的理论基础。这种基于物理图像的颗粒物质基础研究进展也会对包括滑坡、泥石流、地震在内的多种地质过程中的相变过程产生重要影响，为颗粒物质的实际工程提供理论基础。

论文通讯作者为王宇杰教授与华东师范大学物理与电子科学学院夏成杰副研究员，第一作者是上海交大物理与天文学院博士生邢义。该工作得到了国家自然科学基金No. 11974240、No. 11904102，上海交通大学科技创新基金No. 21X010200829，上海市科委项目No. 22YF1419900以及中国博士后科学基金项目No. 2021M702151的支持。

论文链接：Origin of the critical state in sheared granular materials | Nature Physics