论文标题：Super solutions of the model RB（随机RB模型的超解研究）

期刊：Frontiers of Computer Science

作者：Guangyan ZHOU, Wei XU

发表时间：15 Dec 2022

DOI：10.1007/s11704-021-1189-8

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原文信息

标 题：

Super solutions of the model RB

原文链接：

https://journal.hep.com.cn/fcs/EN/10.1007/s11704-021-1189-8

引用格式：

Guangyan ZHOU, Wei XU. Super solutions of the model RB. Front. Comput. Sci., 2022, 16(6): 166406

公众号推文链接：

随机RB模型的超解研究

01

导读

约束满足问题（CSP）在计算机科学、统计物理和信息理论领域发挥着重要作用。CSP实例涉及一组变量和一组约束，任务是找到解决方案（满足所有约束的变量分配）或证明不可解性。RB模型是一种CSP模型，旨在克服标准模型B的微小不可满足性。已经建立了可满足性相变和精确阈值点，从模型RB生成的基准已广泛用于算法竞赛。从统计物理学角度进行的研究也很有成果，其中揭示了解空间的更多结构，如聚类阶段。

RB模型的一个实例I包含一组有限的变量和约束。每个的域是，其中。每个约束都包含随机选择的不同变量，以及一组满足的值元组。如果分配给的值的元组处于对应关系中，则满足约束。

超级解是在许多组合优化和决策问题中，为了形式化具有一定鲁棒性或稳定性的解而引入的概念。为了量化鲁棒性，将（a，b）-超级解引入约束规划。具体来说，（a，b）-超级解决方案是这样一种解决方案，即如果分配给变量的值不再可用，则可以通过为这些变量分配新值a和最多其他变量b来修复解决方案.（1,0）-超级解已经研究了固定的和用于随机（3+p）-SAT的模型RB。在本文中，文章选择了不受和限制的模型RB的（1,1）-超解，并通过渐近一阶矩论证证明了以下结果。

定理1 使Y为模型RB的（1,1）-超级解的个数。然后

02

定理1的证明

文章将使用与上文相同的符号直到等式.使：

从而满足C;使成为是I的解决方案的事件，是存在对于的另一个解，使得或；是是的（1，1）-超解。设是m个无序约束的所有可能的多集合，c是被选为随机实例的约束集合的结果。然后是和。可以得到

 (1)

通过包含或排除，文章给出了以下边界（足够严谨），故可以进行估计

 (2)

在下文中，假设是I包含变量的一组约束的解，同时是包含变量的约束集.使。

Lemma 1 注意到有对于τ来说有可能的方法可以在C中分配变量，因此，因此Lemma1如下：

使，从Lemma 1 可以得出

 （3）

Lemma 2 认为，如果分配和那么对于任何则有：

证明 假设有一个正好是一个常见的赋值，

因此：

代入, 到 Lemma 2，可以推导出

（4）

梳理公式(2), (3) 和 (4) 可以得到

 （5）

●亚临界区域：. 通过等式 .（1）和 (5),得到

假设, 则

因此如果, 那么将倾向于

●亚临界区域：

假设，通过等式.（1）和（5），得到

请注意：,同时

.

然后，因此：

因此 , 随后

03

结论

文章证明了模型RB的期望数量的（1，1）-超解经历了从0到无穷大的相变。有趣的是，阈值与标准可满足性阈值完全相同。此外，定理1中r的约束与约束大小k无关。超级解可以被视为标准解的某种类型的“局部最大”子集，因此文章认为其结果从另一个方面反映了解空间的结构和解的稳定性。对于未来的工作，不论是一个几乎可以肯定（1,1）-满足或不满足的临界点仍然是未知的。

解读：戴西件 南昌大学第二附属医院

审核：张 琨 合肥工业大学

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