华南理工大学数学学院副教授姚若飞团队联合西安交通大学教授陈红斌、澳门大学教授桂长峰等研究人员，成功破解了“热点猜想”这一关键难题。1月13日，相关成果在线发表于《数学新进展》（Inventiones Mathematicae）。记者获悉，《数学新进展》创刊于 1966 年，被认为是全球最负盛名的数学期刊之一。

论文截图。华轩供图，下同

解开三角形上的关键谜题

这项研究源于一个已有50年历史、既经典又贴近直观的数学猜想——“热点猜想”。

设想一个绝热房间（墙壁既不吸热也不放热），在房间某处短暂加热后，热量会从高温区域向低温区域扩散。随着时间的推移，房间温度逐渐趋于均匀，但在系统尚未完全达到平衡状态时，房间内仍会存在“最热点”和“最冷点”。人们基于直觉认为，在时间足够长但尚未平衡时，这些极热或极冷点更可能出现在墙面边缘，而非房间内部。1974年，美国数学家Rauch正式提出了“热点猜想”。

从数学角度来看，温度的演化遵循带有绝热（Neumann）边界条件的热方程。在时间足够长的情况下，温度分布主要由“衰减最慢的首个非平凡模式”主导，即拉普拉斯算子的第二Neumann特征函数（第一特征函数为常数，对应完全均温状态）。因此，在数学家眼中，“热点猜想”可等价表述为：对于平面上的凸区域，拉普拉斯算子的第二Neumann特征函数的最大值与最小值只能在区域边界处取得。

半个多世纪以来，“热点猜想”持续吸引着国际数学界的广泛关注。菲尔兹奖得主陶哲轩（Terence Tao）、Wendelin Werner，以及 ICM 报告人 Richard F. Bass、David Jerison、Nikolai Nadirashvili 等多位顶尖学者，围绕不同几何区域和特殊情形取得了一系列重要进展。

然而，作为最基本的凸多边形之一，平面三角形虽结构简单，但其特征函数的精细行为分析却长期被视为极具挑战性的难题。它不仅是“热点猜想”研究中的关键难点，也是检验相关理论与方法的重要基础模型。

姚若飞。

为此，姚若飞等人聚焦于三角形情形，开展了系统而深入的分析。研究不仅解决了菲尔兹奖得主陶哲轩于2012年在Polymath Project 7中提出的“最大值的精确位置”公开问题，还推进并完善了《数学年刊》（Annals of Mathematics）中关于临界点的公开问题及其主要结论，并对David Jerison提出的特征函数单调性问题给出了明确解答。

此外，研究针对特征函数节点线位置、混合边值问题的特征值不等式等若干公开问题给出了进一步解答。在三角形这一基础几何模型中，他们围绕第二Neumann特征函数的一系列关键结构问题给出了系统且严格的结论。相关方法与结果可为谱几何、偏微分方程及相关方向的后续研究提供重要参考。

十余年磨一剑的攻坚历程

重要成果的背后往往是长期而扎实的积累。姚若飞从博士阶段接触这一难题到论文最终发表，历时约13年；其中集中攻关、反复打磨直至投稿录用，亦经历了5年深度投入。研究过程并非一帆风顺，曾遇停滞与焦虑，但团队在持续推演与修正中不断推进。

在关键技术路线上，研究曾尝试复分析思路但进展有限。之后受团队成员桂长峰2018年发表于《数学新进展》的相关工作启发，转向“直接证明对称性”的思路，局面逐渐打开。同时，团队在文献梳理中发现一篇2016年论文中提及的特征值不等式公开问题，该问题的解决恰好补足了论证中最后的关键环节。

三角形域上的热点猜想：最大最小值的准确位置、临界点个数和位置的示意图。

论文共同通讯作者姚若飞回忆说：关键证明的突破是在一次需要长时间专注的情境中，经反复推演逐步实现的——“我们在脑海里一遍遍梳理思路，忽然将几个看似无关的知识点串联起来，证明路径也随之清晰。”这种“豁然开朗”背后，是前期大量的文献系统整理以及团队长期的交流讨论与打磨。

论文发表过程同样充满挑战。稿件先后经历三轮修改，审稿意见细致而严苛。作者回忆，顶级期刊的评审标准极高，往往要求论证近乎无懈可击；这一过程虽然压力不小，却也显著推动了工作在严谨性与完整性上的提升。最终，这段艰辛而充实的研究历程沉淀为一项扎实而深刻的数学成果。

据介绍，华南理工大学历来重视青年教师成长，这也是姚若飞此次科研攻关成功的重要因素之一。长期以来，该校支持青年教师进行国内外学术交流与合作，常态化邀请知名学者指导青年教师开展科学研究、教育教学、项目申报等工作，助力青年教师迅速成长为学科骨干。

相关论文信息：https://doi.org/10.1007/s00222-025-01398-x